Teorija kaosa: Kakšna je razlika med kaotičnim in naključnim vedenjem?


Odgovor 1:

Kratka zgodba je naslednja. Naključno vedenje je nedeterministično: tudi če bi vedeli vse, kar je mogoče v določenem času vedeti o sistemu v popolnih podrobnostih, stanja v prihodnosti še vedno ne bi mogli napovedati. Haotično vedenje na drugi strani je popolnoma determinirano, če poznate začetno stanje v popolnih podrobnostih, vendar vsaka natančnost v začetnem stanju, ne glede na to, kako majhna je, hitro raste (eksponentno) s časom.

Naključni sistemi

Zmetavanje kovancev ali loterija sta primera naključnih sistemov [*]. Kovanec lahko vržete milijonkrat, vsakič poznate izid, vendar vam sploh ne bi pomagalo napovedati izida naslednjega metanja. Podobno lahko poznate celotno zgodovino številk, ki so osvojile loterijo, vendar vam ne bo pomagalo osvojiti loterije. (Če se to sliši presenetljivo, glejte Gamblerjeve zmote.)

[*] Tu mislim na idealizirane sisteme, kjer se kaže naključnost.

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

Če želite to narediti bolj intuitivno, si predstavljajte, da bi poskusili najti pijanca. Iz lokala je odšel ob polnoči, uro kasneje pa ga iščeš. Ker je pijan, hodi brez cilja in ne boste mogli natančno vedeti, kje je. Vendar veste, da hodi s korakom koraka na sekundo in ob predpostavki, da je vsak korak storjen v novi, povsem naključni smeri, veste, da po eni uri ne more biti veliko dlje kot 60 korakov (morda sto noge) stran od mesta, kjer je odšel.

Kaotični sistemi

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(iz Wikipedije)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

Sveti moli! Točke so povsod! To pomeni, da čeprav smo začeli z dvema zelo podobnima začetnima pogojema, ti dve sekvenci nista podobni. To je kaos.

Razlikovanje kaosa od naključnosti

Pravzaprav je netrivialno razlikovati naključno od naključnih števil. Recimo, če vam povem, da je rezultat metanja kovancev (1 je glava, 0 je repov): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (to je štirinajst). Se vam zdi to naključno? Prepričan sem, da ne. Kljub temu sem ugotovil, da se to zaporedje pojavi dvakrat v desetih tisoč vrečah kovancev, ustvarjenih z resničnim generatorjem naključnih števil (random.org). Isti deset tisoč metov kovancev vsebuje tudi zaporedje [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] dvakrat in [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( osemnajst ničel) enkrat. Seveda so ti dogodki redki (glede na poljubno zaporedje dolžine 14, bi pričakovali, da se bo pojavil v enem od približno 16000 risb), vendar hkrati ne preseneča, da jih vidimo tukaj, saj smo uporabili 10000 vzorcev za Najdi jih. Bistvo pa je, da če vam nekdo da vzorce iz naključnega zaporedja, o samem vzorcu ni ničesar, kar bi vam lahko sporočilo, ali je izvor vzorca naključen postopek ali ne.

Zdaj primerjajte zaporedja, ki sem jih prikazal zgoraj, s tem: [1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0] Ta izgleda bolj naključno, kajne? No, ustvarjen je bil s psevdonamernim generatorjem na mojem računalniku, kar pomeni, da se dejansko izračuna determinirano iz dinamike kaotičnega sistema! To kaže na težavo razlikovanja "prave" naključnosti od tiste, ki jo dobite, ko preprosto ne veste natančnega stanja sistema.

Nepredvidljivost

Pomembno je, da naključnosti ne zamenjamo z nepredvidljivostjo. Naključno vedenje v strogem smislu ni predvidljivo (človek ne more dati popolnih napovedi), vendar je lahko predvidljivo z visoko stopnjo natančnosti (kot v primeru naključnega sprehoda, o katerem sem že pisal prej). Nasprotno, nepredvidljivost je lahko posledica naključnosti (na primer nezmožnosti natančnega predvidevanja, kdaj bo prišlo do radioaktivnega razpada), v večini primerov pa preprosto zaradi naše nezmožnosti začetnega stanja sistema dovolj natančno izmeriti in slediti skozi dovolj natančno (kot v primeru vremenske napovedi ali poskuša napovedati, kje bo kapljica vode padla iz vala, ki brizga ob obalo (to je primer zaradi Feynmana, da trenutno ne najdem reference).


Odgovor 2:

V odgovor na to vprašanje je nekaj odličnih opisov teorije kaosa in naključnosti, vendar bi bilo morda vredno omeniti, da je konceptualni okvir teorije kaosa na zelo različnih področjih izredno dragocen; zlasti na področju ekonomije in poslovanja, to so področja, na katerih morajo strategi imeti nekaj nadzora nad zapleteno situacijo, kjer je preveč interaktivnih dejavnikov, da bi lahko napovedali izide.

Narava je odličen primer stratega, ki uporablja konceptualni okvir teorije kaosa za ustvarjanje optimalno učinkovitih bioloških sistemov. Ključno za uporabno teorijo kaosa je razumevanje, da gre za dinamične sisteme, ki so sestavljeni iz množice interaktivnih elementov. Za take sisteme veljajo temeljni fizični zakoni, zaradi katerih se vedno poskušajo umiriti v enakomerno stanje (najmanj energije). Čeprav to stanje dinamičnega ravnovesja ni predvidljivo, ga je mogoče vzdrževati v številnih različicah interakcij komponent.

Teorija kaosa nam pravi, da če interakcije komponent dosežejo kritični prag, sistem postane kaotičen in se nato ustali v novo in drugačno stabilno stanje. Narava uporablja ta pojav, da spodbudi evolucijski napredek. Genetske razlike se večinoma lahko dopuščajo v biološkem sistemu, vendar lahko vsake toliko časa zadostuje genetska sprememba, da lahko biološki sistem opazno deluje. To je lahko na bolje ali na slabše. Konkurenca med biološkimi sistemi zagotavlja, da se ohranijo sistemi, ki se spreminjajo na bolje, in izgubijo manjvredne spremembe.

Čeprav o teoriji kaosa morda ne vedo ničesar, se pametni ekonomisti in poslovni ljudje zavedajo tega pojava in kadar se sistem ne obnaša tako, kot bi radi, da bi se obnašal, spremenijo spremembe, da bi ga spremenili v novo stanje. Morajo biti dovolj pogumni, da obvladujejo posledični kratkoročni kaos, kar vključuje to, in biti pripravljeni odpraviti spremembe, če se stanje spusti v slabše stanje, vendar je to edini način, s katerim se lahko spopadate in nadzorujete zapletene sisteme. Škoda, da se naši politiki ne učijo v teoriji kaosa.


Odgovor 3:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.


Odgovor 4:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.


Odgovor 5:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.


Odgovor 6:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.


Odgovor 7:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.


Odgovor 8:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.


Odgovor 9:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.


Odgovor 10:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.


Odgovor 11:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.


Odgovor 12:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.


Odgovor 13:

Morda v določenem temeljnem smislu ni razlike,

kar pomeni, da resnične naključnosti v naravi ni.

Mogoče obstajajo samo stopnje naključnosti, ki jih določi

stopnja entropije v pojavu. Težava je tako popolna

naključnost nima nobene vsebine informacij, in to,

samo po sebi je informacija. Paradoks vrste.